МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Математическое ожидание – это среднее количество денег, которое вы можете выиграть или проиграть на данной ставке. Это очень существенное понятие для игрока, потому что оно является основополагающим для оценки большинства игровых ситуаций. Матожидание – это также оптимальный инструмент для анализа основных покерных раскладов.

Допустим, вы играете с другом в монетку, каждый раз делая ставку поровну по $1 независимо оттого, что выпадет. Решка – вы выиграли, орел – проиграли. Шансы на то, что выпадет решка 1 к 1, и вы делаете ставку $1 к $1. Таким образом, математическое ожидание у вас равно нулю, т.к. с точки зрения математики вы не можете знать будете вы вести или проигрывать после двух бросков или после 200.

Ваш часовой выигрыш равен нулю. Часовой выигрыш – это то количество денег, которое вы ожидаете выиграть за час. Вы можете кидать монету 500 раз в течение часа, но вы не выиграете и не проиграете, т.к. ваши шансы ни положительны, ни отрицательны. Если смотреть, с точки зрения серьезного игрока такая система ставок неплоха. Но это попросту потеря времени.

Но предположим, кто-то хочет поставить $2 против вашего $1 в эту же игру. Тогда вы сразу же обладаете положительным матожиданием в 50 центов с каждой ставки. Почему 50 центов? В среднем одну ставку вы выигрываете, вторую проигрываете. Поставите первый доллар – и потеряете $1, ставите второй – выиграете $2. Вы два раза сделали ставку по $1 и идете впереди на $1. Таким образом, каждая из ваших однодолларовых ставок дала вам 50 центов.

Если за один час монета выпадет 500 раз, ваш часовой выигрыш составит уже $250, т.к. в среднем вы потеряли по одному доллару 250 раз и выиграли по два доллара 250 раз. $500 минус $250 равно $250, что и составляет суммарный выигрыш. Обратите внимание, что матожидание, являющиеся суммой, которую в среднем вы выиграли на одной ставке, равняется 50 центам. Вы выиграли $250, делая ставку по доллару 500 раз, что равняется 50 центам со ставки.

Матожидание не имеет ничего общего с кратковременным результатом. Ваш оппонент, который решил ставить против вас $2 мог обыграть вас на первых десяти бросках подряд, но вы, обладая преимуществом ставок 2 к 1 при прочих равных, в любых обстоятельствах зарабатываете 50 центов с каждой ставки в $1. Нет разницы, выигрываете вы либо проигрываете одну ставку или несколько ставок, но только при условии, что у вас хватит наличности, чтобы спокойно компенсировать затраты. Если вы будете продолжать ставить так же, то за длительный период времени ваш выигрыш подойдет к сумме матожиданий в отдельных бросках.

Каждый раз, делая ставку с лучшим исходом (ставка, которая может оказаться выгодной на длинной дистанции), когда шансы в вашу пользу, вы обязательно что-то выигрываете на ней, и не важно теряете ли вы ее или нет в данной раздаче. И напротив, если вы сделали ставку с худшим исходом (ставка, которая невыгодна на длинной дистанции), когда шансы не в вашу пользу, вы что-то теряете независимо от того, выиграли вы или проиграли в данной раздаче.

Вы делаете ставку с лучшим исходом, если матожидание у вас положительно, а оно является положительным, если шансы на вашей стороне. Делая ставку с худшим исходом, у вас отрицательное матожидание, которое бывает, когда шансы против вас. Серьезные игроки делают ставки только с лучшим исходом, при худшем – они пасуют.

Что означает шансы в вашу пользу? Вы можете в итоге выиграть больше, чем приносят реальные шансы. Реальные шансы на то, что выпадет решка 1 к 1, но у вас выходит 2 к 1 за счет соотношения ставок. В данном случае шансы в вашу пользу. Вы точно получаете лучший исход с положительным ожиданием в 50 центов за одну ставку.

Вот более сложный пример матожидания. Приятель пишет цифры от одного до пяти и делает ставку $5 против вашего $1 на то, что вы не определите загаданную цифру. Соглашаться ли вам на такое пари? Какое здесь матожидание?

В среднем четыре раза вы ошибетесь. Исходя из этого, шансы против того, что вы отгадаете цифру, составят 4 к 1. Шансы за то, что при одной попытке вы лишитесь доллара. Тем не менее, вы выигрываете 5 к 1, при возможности проиграть 4 к 1. Поэтому шансы в вашу пользу, вы можете принимать пари и надеяться на лучший исход. Если вы сделаете такую ставку пять раз, в среднем вы проиграете четыре раза по $1 и один раз выиграете $5. Исходя из этого, за все пять попыток вы заработаете $1 с положительным математическим ожиданием в 20 центов за одну ставку.

Игрок, который собирается выиграть больше, чем ставит, как в примере выше, – ловит шансы. И напротив, он губит шансы, когда предполагает выиграть меньше, чем ставит. Игрок, делающий ставку может иметь либо положительное, либо отрицательное матожидание, которое зависит от того, ловит он или губит шансы. Если вы поставите $50 для того, чтобы выиграть $10 при вероятности выигрыша 4 к 1, то вы получите отрицательное матожидание $2, т.к. в среднем вы выиграете четыре раза по $10 и один раз проиграете $50, из чего видно, что потеря за одну ставку составит $10. Но вот если вы поставите $30 для того, чтобы выиграть $ 10, при тех же шансах выигрыша 4 к 1, то в данном случае вы имеете положительное ожидание $2, т.к. вы вновь выигрываете четыре раза по $10 и один раз проигрываете $30, что составит прибыль в $10. Данные примеры показывают, что первая ставка плохая, а вторая – хорошая.

Математическое ожидание является центром любой игровой ситуации. Когда букмекер призывает футбольных болельщиков ставить $11, чтобы выиграть $10, то он имеет положительное матожидание с каждых $10 в размере 50 центов. Если казино выплачивает равные деньги с пасовой линии в крепсе, то положительное ожидание казино составит приблизительно $1.40 с каждых $100, т.к. эта игра построена так, что каждый, кто поставил на эту линию, в среднем проигрывает 50.7% и выигрывает 49.3% общего времени. Бесспорно, именно это вроде бы минимальное положительное матожидание и приносит колоссальные прибыли владельцам казино по всему миру. Как заметил хозяин казино Vegas World Боб Ступак, «одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В ПОКЕРЕ

Покер также можно рассмотреть с точки зрения математического ожидания. Вы можете предположить, что определенный ход выгоден, но в некоторых случаях он может оказаться далеко не лучшим, потому что выгоднее другой ход. Допустим, вы собрали фулл-хаус в пятикарточном покере с обменом. Ваш соперник делает ставку. Вы знаете, что если повысите ставку, он ответит. Поэтому повышение выглядит лучшей тактикой. Но если вы все же поднимите ставку, оставшиеся двое игроков, точно сбросят карты. Но если вы уравняете ставку, то будете полностью уверены, что двое других игроков после вас поступят также. При повышении ставки вы получаете одну единицу, а просто уравнивая – две. Таким образом, уравнивание дает вам более высокое положительное математическое ожидание, и будет являться наилучшей тактикой.

А вот аналогичная, но немного сложнее ситуация. На ривере в семикарточном стад-покере вы собрали flush. Соперник перед вами, предположительно собравший две пары, делает ставку, и после вас остается еще один участник, карту которого вы уверены, что побьете. Если вы решите поднять ставку, игрок после вас, несомненно, уйдет в пас. Тот, кто ставил первым, тоже, скорее всего, скинет карты, при условии, что у него на самом деле две пары, но если окажется, что он собрал фулл-хаус, он сделает re-raise на вашу ставку. При таком раскладе, его поднятие ставки не даст вам положительного ожидания, и более того, игра для вас будет с отрицательным ожиданием. В том случае, если у игрока, сделавшего ставку первым будет фулл-хаус, и он переповышает вашу ставку, игра обойдется вам в две единицы, если вы примете эту ставку, и в одну – если сброситесь.

Рассмотрим этот же пример на шаг вперед: если вы не собрали flush на ривере, а перед вами сделана ставка, то вы можете подняться против определенных оппонентов! Руководствуясь логикой данной ситуации, можно сказать, что если бы вы собрали flush, участник после вас спасует, и, если первый поставивший собрал только две пары, он также может сбросить карты. Будет ли такая игра иметь положительное ожидание (или менее отрицательное, чем при вашем пасе), зависит от того, что вы приобретаете за ваши деньги, т.е. от размера пота и вашей оценки вероятности, что у соперника, первым делающего ставку, нет фулл-хауса, и он сбросит свои две пары. Оценка вероятности, несомненно, требует умения читать руки и мысли игроков, о чем будет рассказано в других главах. На таком уровне матожидание переходит в более сложную величину, нежели при бросании монетки.

Математическое ожидание также может дать понятие о том, какая в покере тактика менее выгодна, а какая – более. К примеру, играя на определенной руке, вы полагаете, что ваши потери в среднем составят 75 центов, включая анте, то такую руку следует играть, т.к. это лучше, чем сброситься, когда анте равно $1.

Другой важной причиной для понимания сути математического ожидания является то, что оно дает вам чувство спокойствия независимо от того, выиграли вы ставку или нет: если вы сделали хорошую ставку или вовремя спасовали, вы будете знать, что вы заработали или сберегли определенное количество денег, которое игрок слабее не смог уберечь. Гораздо сложнее сбросить карты, если вы расстроены тем, что соперник на обмене собрал более сильную комбинацию. При всем при этом, деньги, которые вы сберегли, не играя, вместо того, чтобы ставить, прибавляются к вашему выигрышу за ночь или за месяц. Я, например, получаю истинное удовольствие от хорошего паса, даже если мы проиграли банк.

Просто помните, что если поменять ваши руки, ваш соперник ответил бы вам, и как вы увидите в статье «фундаментальная теорема покера» это лишь одно из ваших преимуществ. Вы должны радоваться, когда это случится. Вам даже можно научиться получать удовольствие от проигранной раздачи, потому что вы знаете, что другие игроки на вашем месте проиграли бы гораздо больше.

ВЫИГРЫШ ЗА ЧАС

Как говорилось в примере с игрой в монетку в начале, часовой коэффициент прибыли взаимосвязан с математическим ожиданием, и данное понятие особенно важно для профессиональных игроков. Когда вы собираетесь играть в покер, вы должны мысленно прикинуть, сколько вы сможете выиграть за час игры. В большинстве случаев вам необходимо будет основываться на вашей интуиции и опыте, но вы также можете пользоваться и некоторыми математическими выкладками. К примеру, вы играете в лоуболл с обменом, и наблюдаете, что три участника делают ставки по $10, а затем меняют две карты, что является очень плохой тактикой, вы можете посчитать для себя, что каждый раз, когда они ставят $10, они теряют около $2. Каждый из них делает это восемь раз в час, а значит, все трое теряют в час примерно $48. Вы один из оставшихся четырех игроков, которые приблизительно равны, соответственно эти четыре игрока (и вы среди них) должны разделить $48, и прибыль каждого составит $12 в час. Ваш часовой коэффициент в этом случае попросту равен вашей доли от суммы денег, проигранной тремя плохими игроками за час.

Естественно, что в большинстве случаев вам не удастся добиться такой точности. Даже в приведенном примере любые другие переменные могут сказаться на вашем часовом коэффициенте. Помимо всего прочего, если вы ведете игру в публичном игорном зале или приватном кабинете, в котором владельцы берут свой процент с каждого банка, вы должны его вычесть (как правило, не более $2–3 с банка) или же почасовую оплату за место. В игровых залах Лас-Вегаса доля казино обычно составляет от 10 процентов с каждого банка, максимально $3 в семикарточном стад-покере с мелкими ставками, и от 5 процентов при более крупных ставках в семикарточном стад-покере, техасском Холдеме и других играх – максимум $2.

За большой промежуток времени суммарный выигрыш игрока составляет сумму его математических ожиданий в отдельных раздачах. Чем больше вы играете с положительным ожиданием, тем больше выигрываете, и наоборот, чем больше раздач с отрицательным ожиданием вы сыграете, тем больше вы проиграете. Вследствие этого, следует отдавать предпочтение игре, которая сможет максимально увеличить ваше положительное ожидание или сведет на нет отрицательное, чтобы вы смогли поднять до максимума ваш часовой выигрыш.

Если у вас сформировался часовой коэффициент, вы должны осознать, что ваша задача заработать денег. Вы уже играете не в традиционном смысле. Не нужно особо радоваться хорошему дню или грустить о плохом. При регулярной игре вы должны попросту чувствовать, что лучше выиграть $20 в час, приходя и уходя, когда вам захочется, нежели играть восьми часовой рабочий день, зарабатывая $15 в час. Полагать, что покер это красиво и престижно, очень ошибочно. Вы должны считать, что вы просто работаете, играя в покер, и не очень беспокоитесь о большом выигрыше. Придет – хорошо, не придет – не страшно, даже, если вы много проиграете. Вы просто играете на определенный часовой коэффициент.

Если вы правильно установили часовой коэффициент, ваш суммарный выигрыш должен примерно ровняться произведению вашего часового коэффициента на сумму сыгранных часов. Ваше преимущество исходит не от лучших карт, а оттого, что вы ведете игру в таких ситуациях, когда другие игроки сыграли бы неверно, если бы у них была ваша рука, а у вас – их. Общая сумма денег, которую они поставят в некорректной игре, при условии, что вы сами играете хорошо, минус доля заведению, дает вам сумму, которую вы выиграете. Разнообразные ошибки ваших оппонентов за час стоят им различных сумм денег. Если поменять руки, то вы не сделаете этих ошибок, и эта разница будет вашим часовым коэффициентом. Вот, в принципе, и все. Если пять раз за один час, игроки разыграют свои руки не так как вы, и в среднем ошибка будет стоить им $2, ваш часовой выигрыш составит $10.

Предположение о том, что вы играете идеально, скорее всего, является большим преувеличением. Мало тех, если они вообще есть, кто ведет игру без ошибок все время, но именно этого мы и стремимся. Более того, важно понимать, что нет одного установленного правильного розыгрыша конкретной руки в покере по сравнению, например, с бриджем, где не секрет, как играть большинство раздач. Напротив, вы должны научиться настраиваться на ваших оппонентов и уметь разнообразить вашу игру против тех же оппонентов.

Более того, время от времени правильно будет сыграть не по правилам! К примеру, вы можете преднамеренно замедлить игру, чтобы выиграть больше на следующей сдаче или на следующем круге торговли. Можно играть не так хитро против слабых игроков, у которых ограниченные суммы денег (на проигрыш), или в случае, если вы сами на мели. В таких случаях не стоит пренебрегать незначительным преимуществом. И можно предельно поднимать ставки. Вы сокращаете коэффициент, но обеспечиваете себе выигрыш. Зачем давать слабым игрокам возможность поймать удачу, после чего они могут уйти от большого проигрыша, или, если им повезет, могут и выиграть, если у вас небольшой запас денег? Вы в любом случае выиграете свои деньги, играя оптимально, просто это потребует немного больше времени.

Большинство покерных партий следует анализировать с точки зрения ожидаемого вами часового коэффициента прибыли, а также необходимо следить за ошибками ваших оппонентов и сколько им стоят эти ошибки. Не рекомендуется оставаться в игре при недостаточном часовом коэффициенте. Причиной для отставания может быть ваше мнение о том, что игра улучшится: либо скоро придут слабые игроки, либо некоторые хорошие партнеры начинают играть хуже, если проигрывают. Если же играете с хорошими выигрывающими игроками, то следует уходить, и чем быстрее, тем лучше, если обстоятельства позволяют это сделать. Тем не менее, изредка полезно продолжать игру с низким часовым коэффициентом по политическим соображениям. Например, вы не хотите обеспечить себе репутацию играющего только при лучшем исходе. При таком представлении вы можете нажить себе врагов, что будет стоить вам денег на длинной дистанции, и вы даже возможно лишитесь хорошего общества.